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Un triangolo scaleno con gli angoli a 30, 60 e 90 gradi è, per definizione, un triangolo, perché uno degli angoli ha 90 gradi, cioè è un angolo retto. Tali triangoli sono molto comuni nelle istruzioni di trigonometria, quindi è interessante conoscere sia la lunghezza dei lati di questo tipo di triangolo sia il modo in cui può essere derivata.
indicazioni
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Orientare il triangolo scaleno in modo che il lato di dimensioni medie sia orizzontale dal basso e il lato minore sia da destra. Quindi l'angolo di 30 gradi sarà a sinistra e l'angolo di 60 gradi verso l'alto. Trova la lunghezza dell'ipotenusa con la lettera H.
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Determina la lunghezza del lato più corto dividendo H per 2. Determina la lunghezza del lato inferiore moltiplicando H per √3 / 2. In alternativa, trova la lunghezza della parte inferiore moltiplicando il lato più corto di √3, che potrebbe essere più facile da ricordare rispetto al numero √3 / 2.
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Determinare H se si trova uno degli altri lati moltiplicando il lato più corto per 2 o moltiplicando il lato della lunghezza media per 2 / √3. Naturalmente, se conosci già due lati, puoi usare il teorema di Pitagora per trovare il terzo, perché è un triangolo rettangolo.
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Derivare da dove i numeri precedenti si presentavano come segue: posizionare due triangoli di 30-60-90 gradi della stessa misura fianco a fianco, con la lunghezza mediana che tocca nel mezzo e i lati più corti che formano una linea retta verso il basso. Nota che questi due triangoli ora formano un triangolo con tutti gli angoli uguali a 60 gradi. Il triangolo ora è equilatero. Poiché tutti gli angoli sono uguali, le lunghezze sono le stesse. Pertanto, i tre lati sono di lunghezza H. Nota in particolare che la parte inferiore è di lunghezza H. Poiché la parte inferiore è composta da due lati più corti, il lato più corto di un triangolo di angoli 30-60-90 è H / 2. Per il teorema di Pitagora, il lato mediano deve essere H√3 / 2.
suggerimenti
- I lati di un triangolo scaleno con lunghezza di ipotenusa in 1 spesso compaiono in esercizi di trigonometria. Se posizioni il triangolo all'interno di un cerchio in modo che il lato più corto tocchi l'asse x positivo e l'ipotenusa di lunghezza 1 si estenda dall'origine al cerchio, il punto di intersezione nel cerchio ha una coordinata x di 1/2 ey √3 / 2. Questi sono il seno e il coseno di 30 gradi. Se il triangolo viene ruotato in modo tale che la lunghezza mediana si trovi sull'asse x positivo, invece, il punto di intersezione nel cerchio ha una coordinata x di √3 / 2 e y di 1/2. Si dice allora che il coseno a 60 gradi è 1/2 e il seno a 60 gradi è √3 / 2. Con un ragionamento simile, il seno e il coseno di 45 gradi sono entrambi √2 / 2 = 1 / √2 perché un triangolo di angoli 45-45-90 con l'ipotenusa ha lati della lunghezza di 1 / √2. Si noti che mentre si va da 30 a 45 a 60 gradi, il coseno diminuisce da √3 / 2 a √2 / 2 a √1 / 2 (= 1/2) e il seno aumenta da √1 / 2 a √2 / Da 2 a √3 / 2. Questo modello genera un interessante mnemonico per i numeri discussi nei passaggi uno, due e tre.
avvertimento
- Non confondere il triangolo discusso sopra con un triangolo rettilineo di lati 3-4-5, che ha un semplice rapporto lato-a-lato ma non ha gli stessi angoli del triangolo da 30-60-90 gradi.